求解齿轮齿廓误差的新算法

    坐标法测量渐开线齿廓通常分为直角坐标法和极坐标法两种。直角坐标法的主要特点是实现其测量原理的仪器结构较简单，且两个互相垂直的长度标准量的测量范围不大，既易于保证精度，又易于制造。利用三坐标测量机等通用量仪，也能方便地测出齿轮实际齿廓的直角坐标值（x_i，y_i），通过对测量数据进行处理，即能求出齿轮的齿形误差值。求解齿形误差的算法有多种，本文给出一种精确求解齿形误差的新算法。
　　1．渐开线的齿廓方程与法线方程
　　如图1所示，假设渐开线的起点A位于x轴上，在直角坐标系0-xy中，渐开线方程为

　（1）

 

图1　渐开线齿廓

式中　φ——展开角
　　　r_b——基圆半径
　　直角坐标法测量齿轮廓时，式（1）是计算齿廓理论坐标与控制测头运动的基础。
　　图1中，B点为渐开线法线与基圆的切点，其坐标为（r_bcosφ，r_bsinφ）；直线的斜率为tg?。根据渐开线的性质，与垂直，因此，直线的斜率为－1／tgφ，则过B点的渐开线的法线BK的方程为

化简得

xcosφ＋ysinφ－r_b＝0　　　（2）

　　2．齿形误差计算
　　由于制造与安装误差的影响，齿轮的实际齿廓总是存在误差。通过测量获得实际齿廓上一系列点的坐标，这些坐标的集合｛（x_i，y_i）｜i＝1，2，…，n｝代表了齿轮的实际齿廓。如图2所示，假设被测点P位于渐开线的法线BK上，则P点的坐标（x_p，y_p）满足方程（2），即

x_pcosφ_p＋y_psinφ_p－r_b＝0　　　　（3）

由上式可求出

　　　（4）

图2　实际齿廓

　　根据GB10095-88的规定，应在渐开线的法向方向评定齿形误差。P点的法向误差err（i）为

　　（5）

其中　　

BK＝BA＝r_bφ_p

因此

　　　（6）

如果第i个齿面测量了n个点，则该齿的齿形误差为

　　　（7）

如果一个齿测量了m个齿，则该齿轮的齿形误差为　　

　　（8）

　　齿形误差的求解过程如图3所示。

图3　齿形误差求解过程

　　3．算例与说明
　　测量一个模数m＝3mm、齿数Z＝40、压力角α＝20°的直齿轮。现测量该齿轮的某一齿廓，共测量了不均匀分布于齿面的16个点，测量结果列于下表。该表同时给出了根据本算法计算出的每点误差值及该齿的齿形误差值。

表　　　　　　　mm　　　　　　　　　　

序号	x	y	err
1	56．4090	－0．0034	0．004
2	56．4914	－0．0034	0．008
3	56．6274	0．0104	0．005
4	56．8178	0．0363	0．000
5	57．0611	0．0749	－0．004
6	57．3574	0．1273	－0．005
7	57．7059	0．1980	－0．004
8	58．1062	0．2893	0．000
9	58．5563	0．4074	0．004
10	59．0547	0．5564	0．007
11	59．5988	0．7423	0．006
12	60．1862	0．9688	0．000
13	60．8180	1．2315	－0．003
14	61．4920	1．5343	－0．004
15	62．2077	1．8773	0．000
16	62．9600	2．2697	0．002
Δff＝0．008－（－0．005）＝0．013

对于本文给出的齿形误差计算方法，有两点应予说明： 　　（1）本算法不仅适用于直齿轮的齿形误差计算，也适用于斜齿轮的齿形误差计算； 　　（2）当用球形测头测量齿形误差时，本算法能方便地修正测头半径的影响。其方法是将测头的球心坐标值直接代入相关公式计算，只需在式（5）中减去球形测头的半径值即可。